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  • 机器学习数学基础系列|凸优化——开启新世纪的大门(下)

    作者:admin
    发布时间:2020-01-24 18:01
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    原标题:机器学习数学基础系列|凸优化——开启新世纪的大门(下)

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    上一篇凸优化的文章中,吾们介绍了有关的一些定义,包括凸函数、仿射集、凸集,分割超平面、拥护超平面,以及Jenson不等式。这一次,吾们不息来讲一下凸保性算子和凸优化。

    1、凸保性算子

    (1) 保持函数凸性的算子

    凸函数的非负添权和:。

    凸函数与仿射函数的复相符:。

    凸函数的逐点最大值、逐点上确界:

    (2)凸函数的逐点最大值

    若 , 均为凸函数,定义函数 ,则函数 为凸函数。

    表明:

    备注:上述表明过程中第二个不等号的表明如下:

    第二个不等式的形势化外达如下图所示。

    (3)思量:逐点上确界和上境图的有关

    一系列函数逐点上确界函数对答着这些函数上境图的交集。

    直不都雅例子:

    同时:条直线逐点求下界,是凸函数。

    同时:条直线逐点求下界,是凸函数。

    备注:在 对偶函数中会用到该结论。

    2、凸优化

    (a)收敛条件下的优化题目

    对于现在的函数,吾们限定是凸函数;对于优化变量的可走域(珍惜,还要包括现在的函数定义域的收敛),吾们限定它是凸集。同时已足这两个克制条件的最优化题目称为凸优化题目,这类题目有一个专门益性质,那就是片面最优解肯定是全局最优解。

    收敛条件清淡分为等式收敛和不等式收敛两栽,前者外示为 ; 后者外示为 。

    几何图像如下:

    (1) 等式收敛

    设现在的函数为 ,收敛条件为 ,形如:

    注:解决手段能够为 消元法

    (b)拉格朗日乘子法

    最先定义原首现在的函数 ,拉格朗日乘子法的基本思维是把收敛条件转化为新的现在的函数 的一片面,从而使得有收敛优化题目变成吾们习气的无收敛优化题目。题目:如何转化?

    1) 最优解的特点分析(等式收敛下)

    等式收敛下不都雅察上左图,发现最优解正益在可走解空间(红色虚线)和现在的函数等值线(蓝色虚线)相切的地方。 想象一下现在的函数 是一座山,收敛 是镶嵌在山上的一条线。从最矮的等高线最先去上数,已足收敛条件的最矮点肯定是等高线与收敛条件相切的地方。

    两条弯线相切,意味着他们在这点的法线平走,也就是法向量只差一个肆意的常数乘子(取为 ):

    因此吾们定义拉格朗日函数有:

    上式中对 求偏导即可得 ,而对 求偏导即可的收敛条件 。

    2) 不等式收敛——条件

    对于不等式收敛 的情况最优解所在的位置有两栽能够,或者在边界 上或者在可走解区域内部已足 的地方。倘若在 的边界上,这时收敛条件首作用,并且 必然与 倾向相逆,能够测度 ,倘若在区域内,则相等于收敛条件异国首作用,因此拉格朗日函数中的参数 。整相符这两栽情况,能够写出一个收敛条件的同一外达:

    以上公式即为 条件。

    3)拉格朗日对偶

    组织原首现在的函数

    接下来组织基于拉格朗日函数的新现在的函数,记为:

    其中 为广义拉格朗日函数,定义为

    因而

    因而

    接下来吾们求, 1号站平台组织对偶题目

    题目:对偶题目何时同解?

    定理1:(弱对偶性)

    定理2:对于原首题目和对偶题目,倘若函数 和不等式收敛条件 为凸函数,等式收敛条件中的 为仿射函数(即由一阶众项式组成的函数, 均为列向量,为标量);并且起码存在一个 使一切不等式收敛条件厉格成立,则存在 使得 是原首题目的最优解,是对偶题目的最优解且有:,并其足够需要条件如下:

    (1)

    (2)

    (3)

    (4)

    (5)

    (6)

    (7)

    (1)~(3)是为了求解最优化请求现在的函数相对于三个变量 的梯度为0;(4)~(6)为 条件,(7)为等式收敛条件。

    注:表明详解可见《Convex Optimization》,by Boyd and Vandenberghe. Page-234, 5.3.2.

    SMO算法:

    倘若 为最优解,可得到别离超平面

    那么就有

    由于

    n=1,2,…,N

    因而每次优化时,必须同时优化 的两个重量分外,由于只优化一个重量分外的话,新的 就不再已足初首克制条件中的等式条件了。此外每次优化的两个重量分外答当是忤逆 现在的条件比较众的。就是说,优游注册介绍原本答当是大于等于1的,越是幼于1忤逆 现在的条件就越众,云云一来,选择优化的两个重量分外时,就有了基本的标准。

    此时,将 、 望做变量,其他重量分外望做常数,对偶题目就是一个二次函数优化题目:

    其中:

    由于 ,因而变为 。 把 代入现在的函数就变成关于 的的一元函数。迭代更新求出 后就求出 啦!

    凸优化到这边就分享终结啦。你是否都消化了呢?

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    作者简介:浩彬老撕

    益玩的数据炼丹师,

    曾经的IBM 数据发掘攻城狮,

    还没最先就过气数据科学界的段子手,

    致力于数据科学知识分享,不按期送书运动

    【17173新闻报道,转载请注明出处】

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      軍情  萊切上仗聯賽又吞帕爾馬兩蛋,但剛由卡利亞里加盟的中場阿歷辛度戴奧拿亮相表現不俗,今場仍會受重用;並繼續與柏迪施安尼及希臘的達治斯迪斯合作,支援塞內加爾箭頭侯馬。  國際米蘭的阿根廷射手拿達路馬天尼斯,上仗聯賽取得今季第10個意甲入球,逼近攻入14球的前鋒拍檔盧卡古,但球隊仍被阿特蘭大逼和;不過主帥干地今場仍不會變陣,球隊剛把翼鋒保列坦奴與羅馬交換翼衞史賓亞蘇拿,後者今場也有望披甲。  萊切  停賽:/  上陣成疑:菲亞莫斯(後衛)  受傷/缺陣:杜文錫(後衛)、恩保拿(中場)  國際米蘭  停賽:/  上陣成疑:/  受傷/缺陣:迪岩布斯奧(後衛)、卡華禾艾沙姆(中場)  近況  萊切上仗聯賽作客0比2負帕爾馬,在聯賽錄得4連敗,跌回下游,近況極差;加上今季9場主場聯賽只得4和5負未贏過,頹勢面對今季脫胎換骨的國際米蘭,只望輸少當贏。國際米蘭上仗聯賽主場賽和阿特蘭大1比1,早前聯賽連勝的佳績終止,聯賽榜一哥位置亦拱手讓予祖雲達斯;但實力遠在今場對手萊切之上,首循環主場交手曾大勝4比0,今場仍可以輕鬆取勝,「入球」大亦可吼。  對賽  雙方近4次聯賽交手,國際米蘭3勝1負。  雙方近3次聯賽交手,2次開「總入球」4球或以上。

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